函数——高中数学最重要的内容，它的现代定义建立在集合论的基础上。本章将帮你充分认识函数的概念、函数的表示法和函数的三要素以及相关题型，尤其是定义域这个易错点，帮你打好函数学习的基础！
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1、学习函数的现代定义，引入了集合论的观点，避免了对关系的描述，非常简洁却反映本质！你要清楚$f$只是一种对应关系
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自变量$x$的取值范围叫做函数的定义域，其对应的$y$值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域
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1、判断函数对应关系的三大原则是：一、发生对应关系的两集合必须是非空数集，即函数有意义；二、存在性，集合$A$中的所有元素都必须在$B$集合中找到对应元素；三、唯一性。定义域$A$中的每一个自变量元素，在$B$中，只能对应一个值
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1、解了常见的三种对应情况：一种是一对一，即$A$中不同的元素对应$B$中不同的元素；第二种是多对一，即$A$中不同的元素对应$B$中的同一元素；第三种是一对多，它严重违反唯一性的情况，它不是函数对应关系
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函数对应关系可以是一对一，或者多对一，但绝不能一对多
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1、讲解函数的三种对应情况在题目中的应用
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而对于给出范围的两集合，存在性可以用子集法判断
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1、区间的概念，它的本质也是集合，只是一种简便写法。一共分为三种区间：闭区间，开区间和半开半闭区间
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无穷大用这个符号表示$\infty $，常用的实数集，用区间表示就是负无穷大到正无穷大的开区间
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对于断开的不连续的取值集合，可以用并集符号连接各个区间。如果是一个或若干个不连续的实数，则不能用区间表示。如果取值范围由一段范围与一个单独的数构成，要将单独的数放入大括号内，再用并集符号连接
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区间的性质，左端点值必须小于右端点值
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1、函数定义域必须用集合或区间来表示，主要有三大限定因素： (1)分母不为零；(2)偶次根式的被开方数非负； (3)零次幂的底数不为零
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对于含有多个限定因素的解析式，定义域要满足每个因素，即取它们的交集。对于实际问题，还要保证定义域有实际意义
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1、尽量不要去化简解析式，如果一定要化简，必须要等价化简
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如果解析式中含有未知参数，要根据参数的取值来分类讨论
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1、两类特殊函数的定义域求法：一种是含有两个二次根式，且根号内部为相反数解析式。比如 ，此时根号下只能取$0$
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另一种是处理含绝对值的不等式，要用数形结合的方法
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由函数定义域，反推解析式中的未知参数。注意以下两种说法是完全不同的：“函数的定义域为集合$A$”、“函数在集合$A$上有意义”，后者的集合$A$只是定义域的一个子集
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1、定义域为R意味着无论自变量x取什么值函数都有意义，即解析式中，所有分母都不为零、所有偶次根式的被开方数都非负、所有零次幂的底数都不为零
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利用这些性质可以解出解析式中未知参数的范围
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1、函数的三要素，是定义域、对应关系和值域。只要定义域和对应关系确定，值域就会随之确定
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两个函数相等的定义：如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，就说这两个函数相等，或为同一函数。若其中一个要素不完全一样，它们就不是同一个函数
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即使对应关系和值域都相同的函数，定义域也有可能不同，即为不同函数。这种函数总数可以这么求：先确定值域，再把函数值代入解析式，算出其对应的自变量取值，再把这些值进行组合，有多少种组合方式就有多少种函数
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1、两函数是否相等的判定分两步，先看定义域，再看对应关系。关于定义域，要特别注意三类函数的限定因素
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分式型函数要注意分母不为零，不能轻易进行约分，除非确保公因式不为零
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零次幂型函数要注意底数不为零
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根式型函数要注意奇次根式型与偶次根式型的区别。其中奇次根式对根式内部整体没有任何限定，而偶次根式的内部整体要大于等于$0$。同时，偶次根式型函数不能轻易将根式合并或化简，除非在定义域内做等价化简
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1、学习函数相等判定在题型中的应用
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先看定义域，再看对应关系，按照这个顺序去比较两个函数，就能看清楚它们的本质，鉴定出它们的身份，判断出它们是否相等
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1、学习函数的三种表示法：列表法、解析法和图象法
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探讨了它们的优缺点，发现解析法和图象法才是王道，它们相辅相成的关系也使“数形结合思想”应运而生
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1、函数图象的性质是：任何直线$x=a$与函数的图象最多只有一个交点
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学习作函数图象的方法——描点法
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要注意的就是函数定义域，经常需要截取图象，挖空某个点，或者画一些离散的点
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吕凌哲
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