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本课程深入探讨了乘法原理及其在解决实际问题中的应用，首先明确了乘法原理的定义，并通过实际例子展示了如何将任务分解为独立的步骤来计算总方法数。接着，课程通过排序问题、限定条件排序问题、车票与握手问题等，让学生理解在不同情境下如何应用乘法原理。课程还特别介绍了比赛场数问题和棋盘放棋问题，强调了在特定条件下如何利用乘法原理进行计算。

• 分步计数，步步相乘—乘法原理

  08:58

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  1、乘法原理的定义：如果完成一件任务需要分成$k$个步骤进行，做第$1$步有$m_{1}$种方法，做第$2$步有$m_{2}$种方法……做第$k$步有$m_{k}$种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有$N=m_{1}×m_{2}×\cdots ×m_{k}$种不同的方法
  2、 利用乘法原理解题时，需要先分步，然后去确定每一步的分类数目，最后步步相乘
  3、 对于“必须经过某个点”的最短路线题目，显然用两个长方形分开标数，再相乘的方式更简单
  
• 排列方式知多少—排序问题

  12:00

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  1、排序问题的本质，是分析元素和位置的配对情况
  2、 思路有两种：要么由元素选位置，要么由位置选元素
  3、 排序问题大致可以分为“不可重复排序”和“可重复排序”两类。前者由全部参与配对的一方来选择另一方，乘法算式的特点是乘数递减；后者由重复的一方来选择另一方，乘法算式的特点是乘数相同
  
• 特殊元素的优先待遇—有限定条件的排序问题

  09:11

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  1、对于限定了某个元素必须在某个位置或者不能在某个位置的题目，要先考虑特殊元素满足限定时有几种选择，再考虑其他元素依次有几种选择，最后用乘法原理求总数
  2、 如果题目的限定不明确，就要具体分析出元素可能出现的位置
  
• 顺序很重要—车票问题与握手问题

  08:17

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  1、车票问题和握手问题的区别在于是否具有有序性。它们研究的分别是排列与组合。公式分别为$n(n-1)$和$\dfrac{n(n-1)}{2}$
  2、 还研究了类似的一些题目，对于多边形的对角线，要注意限定条件
  3、 在网格中求矩形的种类，可以转化成了$AD$和$AB$上的线段的种类
  
• 队伍之间的配对—比赛场数问题

  00:00

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  1、三种赛制的比赛场数规律：①若有$n$支队伍参加双循环赛，则共有$n×(n-1)$场比赛
  2、 ②若有$n$支队伍参加单循环赛，则共有$n×(n-1)÷2$场比赛
  3、 ③若有$n$支队伍参加淘汰寒直到决出冠军，则共有$n-1$（场）比赛；若加上三、四名决赛，则共有$n$场比赛
  4、 对于像世界杯这样复合型赛制的比赛，要分开分析
  
• 既不同行也不同列的放法—棋盘放棋问题

  00:00

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  1、在棋盘中放棋子，保证既不同行也不同列
  2、 当棋子数和棋盘的行数相同或列数相同时，只需要考虑某一行的棋子在行中或列中的位置
  3、 当如果棋盘的行数和列数都和棋子数不同时，则如果每个棋子都不同，就把每个棋子能选择的位置数目相乘
  4、 如果每个棋子都相同，就还要在除以这些棋子内部的排序方式的数目