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课程简介
金字塔模型、蝴蝶定理及其变式（包括燕尾定理）是解决复杂几何问题的关键工具。平行线法通过在三角形一边上特定位置的点作另一边的平行线，构建金字塔模型，帮助求解三角形中的比例问题。蝴蝶定理描述了被对角线分割的四边形中四个三角形的面积关系，分为比例式和乘积式两种形式。蝴蝶定理公式二进一步提供了具有公共边的两个三角形面积比的规律，即面积比等于相应顶点到交点的距离之比。燕尾定理作为蝴蝶定理的特殊情况，适用于三角形内部的两个共边三角形，其面积比等于公共边延长线分另一边的比例。这些定理不仅简化了几何问题的求解过程，还提高了解题的效率和准确性。
视频列表
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1、直接作平行线最常见的方式就是过三角形一边上特定位置的点，作另一边的平行线，从而构建金字塔模型
2、
平行线能帮我们求出BC边被分割成的线段的比例，为在金字塔模型中求相似比和面积比直接提供了条件
3、
这种图形涉及三个点分四条线段的四个比例。只要画出平行线，构造出两个金字塔模型，就能由其中两个比例，求出另外两个比例
4、
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1、平行于梯形上下底的直线，和两腰的交点在腰上的位置相同，$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{DF}{FC}$
2、
最后一道难题，关键是作出平行线后，求出三个比例。M分PG的比例和N分GQ的比例，要用两组沙漏模型来求
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1、第一种间接构造平行线的方式，是根据面积比的条件来作高，从而得到两条平行线，构造出金字塔模型；第二种间接构造平行线的方式，是连接三角形两边相同位置的点，形成底边的平行线。
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1、主要内容就是蝴蝶定理的公式一，它描述了在被对角线分割的四边形中，四个三角形的面积关系
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它有两种形式。一种是比例式，可以记作相邻的两组三角形面积比例相等，只要确保内部谁比谁的方向一致就很容易记住
3、
另一种是乘积式，可以记作相对的两个三角形面积的乘积相等。
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1、主要内容就是在梯形中运用蝴蝶定理，常用的结论有四条$S_{上}:S_{左}:S_{右}:S_{下}=a^{2}:ab:ab:b^{2}$
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灵活运用能帮助我们求这四个三角形的面积
3、
要注意图中的交叉线段，添加辅助线就能构造蝴蝶定理的模型。
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1、蝴蝶定理的公式二：$\dfrac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC} }$$=\dfrac{OD}{OB}$，$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD} }$$=\dfrac{OA}{OC}$
2、
利用公式二得到的具有公共边的两个三角形的面积比规律：若两个三角形具有公共边，将另外两个顶点相连与公共边交于一点，则它们的面积比等于相应顶点到交点的距离之比
3、
在同一方向上，大三角形的面积比，等于小三角形的面积比，等于该方向上对角线被分成的两节线段的长度比
4、
把公式二的模型简化一下，可以看成“同底三角形面积比等于高之比”的一种变式
5、
无论这两个三角形是钝角三角形，还是它们在同侧，结论依旧成立
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1、三道例题，都不算简单
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仔细回顾这三道题，同学们就能对图中隐藏的蝴蝶定理模型更敏感，在之后的题目中也能更顺利地利用公式二求出面积比例
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1、主要内容就是蝴蝶定理公式二的逆用，根据有公共边的三角形的面积比得到线段比
2、
对于涉及三角形中三个点在四条线段的位置的题目，就可以把边上的两个点连起来，用蝴蝶定理公式二去解
3、
再求三角形面积的过程中，我们要注意利用中介三角形来写出面积连比。
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1、相比之前的题目，本节课的两道题在使用蝴蝶定理公式二时，就很隐蔽，所以难度也增大了不少
2、
同学们要仔细体会这两道题在思路上的步骤
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1、燕尾定理是蝴蝶定理公式二的一种特殊情况，即三角形内部的两个共边三角形的面积比，等于公共边的延长线分另一边的比例
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燕尾定理应用的常见图形，只要解出三个小三角形面积的连比，那么三条边上点的位置就能根据对应的两个三角形的面积比确定。
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